תרגילים פתורים

גאומטריה אנליטית | שיעור | מהנקודה אל ההוכחה | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז

שיעור | מהנקודה אל ההוכחה בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לתרגם בין נקודות, טבלה ומשוואת ישר
לחשב שיפוע, אמצע קטע ומרחק
להוכיח מקבילות ומאונכות
לשלב חישוב שיעורים עם נימוק גאומטרי במשולשים ומרובעים

למה לעבוד עם שיעורים?

בגאומטריה אנליטית מתארים צורה בעזרת נקודות ומשוואות. הרעיון הוא לנוע בשני הכיוונים: לתרגם מידע גאומטרי לחישוב, ואז להסביר מה החישוב מוכיח על הצורה. תשובה כמו ׳השיפוע הוא 2׳ אינה מוכיחה שהמרובע מלבן; צריך לחבר בין השיפועים למקבילות ולמאונכות. לאורך הדף עובדים בנקודות, קטעים וישרים של כיתה י׳, 4 יחידות, ומשתמשים במשפטי המשולשים והמרובעים מחטיבת הביניים.

נקודות, מרחק ואמצע קטע

הגדרה | נקודה במישור

נקודה P(x,y) מתוארת בסדר קבוע: תחילה x, תנועה אופקית מן הראשית; אחר כך y, תנועה אנכית. למשל ⁦P(−2,3)⁩ נמצאת שתי יחידות שמאלה ושלוש למעלה. צירי מערכת שיעורים ניצבים זה לזה, ויחידת האורך זהה בשני הצירים כאשר משתמשים בנוסחת המרחק.

$M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$

אמצע קטע: ממוצעים כל שיעור בנפרד.

למה ממוצע? כדי להגיע מקצה אחד לחצי הדרך, מוסיפים חצי מההפרש לקצה הראשון: xA + (xB − xA)/2 = (xA + xB)/2, ובאותו אופן בציר y. אם נתונים קצה ואמצע, עובדים לאחור: xB = 2xM − xA, yB = 2yM − yA.

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

מרחק: משפט פיתגורס על ההפרש האופקי וההפרש האנכי.

הקטע בין שתי נקודות הוא יתר של משולש ישר־זווית, שניצביו מקבילים לצירים. בריבוע האורך הסימנים נעלמים, אבל בחישוב שיפוע הסימנים חשובים. אם הקטע אופקי, אורכו הערך המוחלט של הפרש שיעורי x; אם הוא אנכי, משתמשים בהפרש שיעורי y. בסיום מרחק חייב להיות לא־שלילי, ובשטח מציינים יחידות שטח.

שיפוע: שינוי אנכי ביחס לשינוי אופקי

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\qquad(x_B\ne x_A)$

שומרים על אותו סדר נקודות במונה ובמכנה.

שיפוע חיובי פירושו עלייה כשנעים ימינה, ושיפוע שלילי פירושו ירידה. שיפוע 1/2 אומר שעל כל שתי יחידות ימינה עולים יחידה אחת. אפשר להפוך את סדר שתי הנקודות, אך צריך להפוך גם במונה וגם במכנה: שני שינויי הסימן מבטלים זה את זה. כש־y קבוע, השיפוע אפס והישר אופקי. כש־x קבוע, הישר אנכי והשיפוע אינו מוגדר; אין לחלק באפס.

סוג ישר	משוואה	שיפוע
אופקי בגובה 3	`y = 3`	0
אנכי בשיעור 3	`x = 3`	אינו מוגדר
עולה דרך הראשית	`y = 2x`	2
יורד וחוצה ציר y ב־4	`y = −x + 4`	−1

איך בונים משוואת ישר?

$y-y_0=m(x-x_0),\qquad y=mx+b$

נקודה ושיפוע מספיקים לקבוע ישר לא־אנכי.

אם נתונות שתי נקודות שונות, מחשבים קודם שיפוע ואז משתמשים באחת מהן. אם נתון שיפוע ונקודה, מתחילים מיד בצורה y − y₀ = m(x − x₀), בלי לנחש את b. לדוגמה, שיפוע 2 דרך ⁦(1,5)⁩: y − 5 = 2(x − 1), ולכן y = 2x + 3. מאמתים בהצבת הנקודה. לישר אנכי דרך ⁦(1,5)⁩ המשוואה x = 1, ולא y = mx + b.

ב־y = mx + b, הנקודה (0,b) היא החיתוך עם ציר y. כדי למצוא חיתוך עם ציר x מציבים y = 0 ופותרים. נקודה נמצאת על ישר רק אם שיעוריה מקיימים את המשוואה. שתי משוואות עשויות לתאר אותו ישר: למשל 2y = 4x + 6 ו־y = 2x + 3. לפני השוואת שיפועים מבודדים y ומחלקים את כל האגף, לא רק איבר אחד.

מקבילות ומאונכות: החישוב והנימוק

$m_1=m_2\quad\text{(parallel)},\qquad m_1m_2=-1\quad\text{(perpendicular)}$

כללי השיפועים חלים כאשר שני השיפועים מספריים; למקבילים נפרדים דרוש גם ישר שונה.

לשני ישרים לא־אנכיים מקבילים אותו שיפוע. אם גם b שווה, הם מתלכדים; אם b שונה, אין נקודת חיתוך. עבור מאונכות, השיפועים הופכיים ונגדיים: לשיפוע 2/3 מתאים −3/2, לא −2/3. החריג החשוב: ישר אופקי וישר אנכי מאונכים אף שלא ניתן להכפיל את השיפועים. שני ישרים אנכיים שונים מקבילים. כשמבקשים ישר מקביל או מאונך דרך נקודה, קובעים קודם את סוגו או שיפועו, ורק אז מעגנים בנקודה.

חיתוך והחלפת ייצוג

בנקודת מפגש שני הישרים אותו x ואותו y. אם שתי המשוואות כתובות כ־y, משווים את אגפי ימין, פותרים x ומציבים לקבלת y. עם x = a מציבים a במשוואה השנייה. בדיקה בשתי המשוואות חשובה: היא מגלה טעויות סימן. אם הפתרון מוביל לשוויון תמידי, המשוואות מתלכדות; אם מתקבלת סתירה, הישרים מקבילים ואינם נפגשים.

בטבלת נקודות מחשבים הפרש y חלקי הפרש x, ולא רק מסתכלים על השינוי ב־y. כדי לשרטט ישר מסמנים לפחות שתי נקודות שמקיימות את המשוואה ומחברים בקו ישר. למשל y = −x + 4 עובר ב־⁦(0,4)⁩ וב־⁦(4,0)⁩; הוא יורד משמאל לימין. תוויות הצירים וסולם החלוקה חייבים להיות ברורים. אין להסיק מאונכות רק מציור שנראה כך: קני מידה שונים יכולים להטעות.

מחישוב אל הוכחה במשולשים ובמרובעים

משולש: תיכון עובר בקודקוד ובאמצע הצלע שמולו; גובה עובר בקודקוד ומאונך לצלע שמולו או להמשכה. אין להחליף ביניהם. כדי להוכיח שווה־שוקיים אפשר להשוות ריבועי אורכי השוקיים. כדי להוכיח ישר־זווית משתמשים במאונכות שתי צלעות או במשפט פיתגורס ההפוך. שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה המתאים חלקי 2; צלע משופעת אינה אוטומטית גובה.

מרובע: שמרו על סדר הקודקודים שסופק. שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות מוכיחים מקבילית; גם אלכסונים החוצים זה את זה מספיקים למקבילית. כדי להוכיח מלבן מוסיפים זווית ישרה. כדי להוכיח ריבוע אפשר להוכיח מלבן ולבדוק ששתי צלעות סמוכות שוות. לא די במקבילות כדי להוכיח מלבן ולא די בזווית ישרה אחת בלי מידע נוסף. בטרפז, הגובה הוא המרחק המאונך בין הבסיסים, ולא אחת השוקיים.

סדר עבודה שמונע טעויות

רושמים אילו נקודות ואילו ישרים נתונים ומה צריך לחשב או להוכיח.
בודקים ישר אנכי או אופקי לפני שימוש בכלל שיפועים.
משמרים סדר אחיד בהפרשי השיעורים.
למשוואת ישר בודקים הצבת נקודה; לחיתוך בודקים שתי משוואות.
מסיימים כל הוכחה בשם המשפט ובמסקנה, לא ברשימת מספרים.
משאירים שורשים ושברים מדויקים עד הסיום, ומציינים יחידות באורך ובשטח.