תרגילים פתורים

סטטיסטיקה תיאורית | שיעור: מהנתונים למדדי המרכז | כיתה י׳, 3 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | סטטיסטיקה תיאורית | תשפ״ז

שיעור: מהנתונים למדדי המרכז בסטטיסטיקה לכיתה י׳, 3 יחידות: טבלאות שכיחויות, שכיחות יחסית ומדדי מרכז, עם הסברים ופתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לבנות ולקרוא טבלת שכיחויות
לחשב שכיחות יחסית ולתרגם ייצוגים
לבחור ולחשב ממוצע, חציון, שכיח וממוצע משוקלל

מה מספרים הנתונים?

רשימת נתונים מתארת תצפיות: תלמידים, ימים או מוצרים. לפני חישוב שאלו מהו המשתנה ומה מייצג כל נתון. אם תלמיד קרא 0 ספרים, הוא עדיין משתתף בסקר. המטרה אינה רק לחשב מספר, אלא לבחור מדד שמתאים לשאלה.

מרשימה לטבלת שכיחויות

הגדרה | שכיחות

מספר ההופעות של ערך ברשימה. בשורה אחת רושמים ערך; בשורה השנייה או בעמודה הסמוכה רושמים כמה פעמים הוא הופיע.

ברשימה 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3 יש 8 תצפיות. מתחילים בערכים השונים, סופרים כל הופעה ובודקים שסכום השכיחויות 8.

ספרים	שכיחות
0	1
1	2
2	3
3	2

שכיחות יחסית ומעבר בין ייצוגים

הגדרה | שכיחות יחסית

החלק של קטגוריה מתוך כלל התצפיות: שכיחות חלקי מספר התצפיות. אפשר להציג כשבר, כמספר עשרוני או באחוזים.

$r_i=\frac{f_i}{n},\qquad p_i=100r_i$

f היא השכיחות, n מספר התצפיות; p הוא האחוז.

בטבלה לעיל, 3 מתוך 8 תלמידים קראו 2 ספרים: 0.375, כלומר 37.5%. בדיאגרמת עמודות גובה כל עמודה הוא השכיחות או האחוז, לפי כותרת הציר. בדיאגרמת עוגה גודל המגזר מבטא חלק מהשלם; זוויתו היא השכיחות היחסית כפול 360°. סכום החלקים הוא 1 או 100%, לפני עיגול. רשמו תמיד מה מייצג כל ציר או מגזר. אין לחבר נקודות כאילו מדובר בשינוי בזמן כשהנתונים הם קטגוריות מסקר אחד.

איזה מדד לבחור?

הגדרה | ממוצע

סכום הערכים חלקי מספר התצפיות. מתאים כשמבקשים חלוקה שווה של הכמות הכוללת, או כשכל ערך רלוונטי. הוא רגיש לערכים חריגים.

$\bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{\sum f_i}$

בטבלת שכיחויות סופרים כל ערך לפי מספר הופעותיו.

הגדרה | חציון

ערך המרכז אחרי סידור בסדר עולה. במספר אי־זוגי של תצפיות בודקים מקום (n + 1) ÷ 2. במספר זוגי ממוצעים את הערכים במקומות n ÷ 2 ו־n ÷ 2 + 1. הוא שימושי במיוחד כשערכים חריגים מושכים את הממוצע.

הגדרה | שכיח

הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר. שימושי לבחירה הפופולרית ביותר, גם בקטגוריות כמו צבע או מידה. ייתכנו כמה שכיחים; כשכל הערכים מופיעים באותה שכיחות אין ערך שמוביל, ובמסגרת זו מתארים שאין שכיח יחיד.

ממוצע משוקלל

כאשר לכל ערך משקל אחר, אין לחלק אוטומטית במספר הערכים השונים. משקל יכול להיות מספר תלמידים, מספר פריטים או אחוז מציון. מכפילים כל ערך במשקלו, מחברים ומחלקים בסכום המשקלים. במשקלי אחוזים אפשר להשתמש באחוזים עצמם ולחלק ב־100, או להשתמש בחלקים שסכומם 1.

$\bar{x}_w=\frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$

בדקו את משמעות המשקל ואת סכומו לפני החישוב.

בדיקות קצרות שמונעות טעויות

סכום השכיחויות שווה למספר התצפיות.
הממוצע והחציון אינם מחוץ לטווח הערכים.
לחציון סופרים גם הופעות חוזרות.
המכנה בשכיחות יחסית הוא השלם המבוקש.
אין לחשב ממוצע מספרי לקטגוריות כמו צבעים.